Végtelen tizedes törtek
A végtelen tizedes törtek elképzelését segítheti az, hogy egyre pontosabb mérési eredményekre gondolunk. Igaz, hogy a fizikai mérés pontosságának elvi korlátai vannak, de a matematikában elvont és ideálisan pontos alakzatokkal foglalkozunk; rájuk vonatkoztatva van értelme annak, hogy a mérést vég nélkül folytatjuk. Azok a számjegyek – akár tízes, akár kettes vagy más számrendszerben –, amelyeket az egyre pontosabb mérés folyamán kapunk, bármilyen szabályosan vagy szabálytalanul következhetnek egymás után. A tanulók ismerkednek a véletlennel, a valószínűséggel, el tudják képzelni a következőt: egy kalapba két korongot teszünk, csak abban különböznek, hogy az egyikre 0 van írva, a másikra 1. Találomra kihúzzuk az egyiket, azután visszadobjuk, és ezt ismételjük a végtelenségig.
Nincs semmi ok arra, hogy valami szabályosság legyen a kihúzott jegyek egymásutánjában, például, hogy egy idő után már mindig csak 0 következzék vagy fölváltva mindig 0, 1, 0, 1 a végtelenségig. Fizikai akadálya nincs ugyan annak, hogy így legyen, mégis nagyon meglepődnénk, ha ezt tapasztalnánk, 20-szor–30-szor is, nemhogy vég nélkül, akárhogy összekeverjük is mindig a két korongot. Az egyre pontosabb mérés egymás után következő jegyeivel is így van. (Ha tízes számrendszerben írjuk le a mérési eredményt, akkor tíz korongot képzelünk a kalapba a 0, 1, 2, …, 9 számjegyekkel.)
Nincs akadálya, hogy valami szabályosság szerint következzenek a jegyek, de ez mégis rendkívül ritka eset. Ennek alapján elképzelhetjük, hogy ha „találomra” kiválasztunk egy pontot a számegyenesen, és megmérjük, mennyi ennek a 0 ponttól való távolsága a számegyenes egységével mérve, akkor nagyon ritka esetben lesz a ponthoz írott szám tizedes tört alakja véges. Ez ugyanis azt jelentené, hogy attól kezdve csupa 0 számjegyet húzunk ki. És az is nagyon ritka, hogy a számjegyek szabályszerűen ismétlődnek.
Egész számok osztásakor keletkező végtelen tizedes törtek
A tanulók eljuthatnak arra a felismerésre, hogy ha egy egész számot elosztunk egy másikkal, akkor az eredmény mindig egészen különleges, kivételes lesz: vég nélkül ismétlődik benne egyetlen számjegy vagy számjegyek valamilyen egymásutánja. Ha véges tizedes törthöz jutnak, akkor a 0 az a számjegy, ami azután már vég nélkül ismétlődik (csak nem írjuk le). Ha pedig végtelen tizedes tört az eredmény, akkor valami más jegy vagy jegycsoport (szakasz) ismétlődik a végtelenségig. Mindkét esetben mondhatjuk, hogy végtelen tizedes tört az eredmény, mégpedig szakaszos végtelen tizedes tört. (Az első esetben 0 a szakasz.)
Az egész számok osztásának eredményeit úgy nevezzük: racionális számok. A számegyenes összes – elképzelt mérésekből adódó – számainak neve: valós számok. A tapasztalatok oda vezetnek tehát, hogy a valós számok között a racionálisak ritka kivételt alkotnak. Ennek végiggondolását azonban nem várjuk a gyerekektől, csupán lépéseket tesznek e felé.
